Logo
Unionpedia
Komunikacja
pobierz z Google Play
Nowy! Pobierz Unionpedia na urządzeniu z systemem Android™!
Darmowy
Szybszy dostęp niż przeglądarce!
 

Liczba pierwsza

Indeks Liczba pierwsza

Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą.

84 kontakty: Adrien-Marie Legendre, Algorytm, Asymptotyczne tempo wzrostu, Berkeley Open Infrastructure for Network Computing, Carl Friedrich Gauss, Ciąg arytmetyczny, Ciąg Fibonacciego, Czynnik pierwszy, Dzielnik, Element pierwszy, Euklides, Franciszek Mertens, Funkcja π, Great Internet Mersenne Prime Search, Hipoteza Goldbacha, Ideał pierwszy, Jacques Salomon Hadamard, Język angielski, Jean-Pierre Serre, Kryptologia, Leonhard Euler, Lew Sznirelman, Liczba Ferriera, Liczba półpierwsza, Liczba złożona, Liczby bliźniacze, Liczby czworacze, Liczby Fermata, Liczby Mersenne’a, Liczby naturalne, Liczby Sierpińskiego, Liczby względnie pierwsze, Liczby zaprzyjaźnione, Logarytm całkowy, Małe twierdzenie Fermata, Oś liczbowa, Pafnutij Czebyszow, Paul Erdős, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Pierścień (matematyka), Podłoga i sufit, PrimeGrid, Przedział (matematyka), Rozkład na czynniki, RSA (kryptografia), Silnia, Sito Eratostenesa, Sophie Germain, Srinivasa Ramanujan, Szereg (matematyka), ..., Teoria liczb, Test Lucasa-Lehmera, Test Millera-Rabina, Test pierwszości, Test pierwszości Solovaya-Strassena, Wielkie twierdzenie Fermata, 0 (liczba), 1 (liczba), 11 (liczba), 13 (liczba), 17 (liczba), 19 (liczba), 2 (liczba), 2008, 23 (liczba), 29 (liczba), 3 (liczba), 31 (liczba), 37 (liczba), 41 (liczba), 43 (liczba), 47 (liczba), 5 (liczba), 53 (liczba), 59 (liczba), 61 (liczba), 67 (liczba), 7 (liczba), 71 (liczba), 73 (liczba), 79 (liczba), 83 (liczba), 89 (liczba), 97 (liczba). Rozwiń indeks (34 jeszcze) »

Adrien-Marie Legendre

Adrien-Marie Legendre (ur. 18 września 1752, Paryż, zm. 10 stycznia 1833 tamże) – francuski matematyk.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Adrien-Marie Legendre · Zobacz więcej »

Algorytm

Algorytm – skończony ciąg jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego rodzaju zadań.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Algorytm · Zobacz więcej »

Asymptotyczne tempo wzrostu

Asymptotyczne tempo wzrostu jest miarą określającą zachowanie wartości funkcji wraz ze wzrostem jej argumentów.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Asymptotyczne tempo wzrostu · Zobacz więcej »

Berkeley Open Infrastructure for Network Computing

Berkeley Open Infrastructure for Network Computing (BOINC) – niekomercyjne rozwiązanie z dziedziny obliczeń rozproszonych, które pierwotnie powstało dla potrzeb projektu SETI@home, aktualnie wykorzystywane jest również w projektach innych niż SETI.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Berkeley Open Infrastructure for Network Computing · Zobacz więcej »

Carl Friedrich Gauss

Znaczek z Gaussem wydany przez niemiecką pocztę (ur. 30 kwietnia 1777 w Brunszwiku, zm. 23 lutego 1855 w Getyndze) – niemiecki matematyk, fizyk, astronom i geodeta.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Carl Friedrich Gauss · Zobacz więcej »

Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny (dawniej postęp arytmetyczny) – ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz jest sumą wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego oraz ustalonej liczby zwanej różnicą ciągu.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Ciąg arytmetyczny · Zobacz więcej »

Ciąg Fibonacciego

Wykres funkcji dla pierwszych ośmiu wyrazów ciągu Fibonacciego (''F''0... ''F''7) Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: Formalnie: 0 & \text n.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Ciąg Fibonacciego · Zobacz więcej »

Czynnik pierwszy

Czynnik pierwszy – dowolna liczba pierwsza, która dzieli bez reszty daną liczbę naturalną złożoną.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Czynnik pierwszy · Zobacz więcej »

Dzielnik

Dzielnik – liczba całkowita, która dzieli bez reszty daną liczbę całkowitą.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Dzielnik · Zobacz więcej »

Element pierwszy

Element pierwszy – uogólnienie pojęcia liczby pierwszej.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Element pierwszy · Zobacz więcej »

Euklides

Euklides Euklides z Aleksandrii (starogr., Eukleides, ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 270 r. p.n.e.) – matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Euklides · Zobacz więcej »

Franciszek Mertens

Franciszek Mertens, znany też jako Franz Mertens (ur. 20 marca 1840 w Środzie Wielkopolskiej, zm. 5 marca 1927 w Wiedniu) – polsko-austriacki matematyk, profesor Uniwersytetu Jagiellońskiego.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Franciszek Mertens · Zobacz więcej »

Funkcja π

Funkcja π – funkcja używana w teorii liczb.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Funkcja π · Zobacz więcej »

Great Internet Mersenne Prime Search

Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) – projekt obliczeń rozproszonych w którym biorą udział ochotnicy poszukujący liczb pierwszych Mersenne’a.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Great Internet Mersenne Prime Search · Zobacz więcej »

Hipoteza Goldbacha

Hipoteza Goldbacha jest problemem teorii liczb, liczącym sobie ponad 250 lat i ciągle nierozstrzygniętym.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Hipoteza Goldbacha · Zobacz więcej »

Ideał pierwszy

* ideał pierwszy w teorii pierścieni.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Ideał pierwszy · Zobacz więcej »

Jacques Salomon Hadamard

Jacques Salomon Hadamard Jacques Salomon Hadamard (ur. 8 grudnia 1865 w Wersalu, zm. 17 października 1963 w Paryżu) - matematyk francuski.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Jacques Salomon Hadamard · Zobacz więcej »

Język angielski

ikona symbolizująca język angielski według standardu ISO 639-1 Język angielski, angielszczyzna (ang. English language //, English) – język z grupy zachodniej rodziny języków germańskich powszechnie używany w Wielkiej Brytanii, jej terytoriach zależnych oraz w wielu byłych koloniach i dominiach, m.in.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Język angielski · Zobacz więcej »

Jean-Pierre Serre

Jean-Pierre Serre Jean-Pierre Serre (ur. 15 września 1926 w Bages) –. W 1954 roku uhonorowany medalem Fieldsa, za książkę A Course in Arithmetic otrzymał w 1995 r. również Nagrodę Leroy P. Steele’a (1993), Nagrodę Wolfa (2000) i Nagrodę Abela (2003).

Nowy!!: Liczba pierwsza i Jean-Pierre Serre · Zobacz więcej »

Kryptologia

II wojny światowej do szyfrowania wiadomości sztabowych wysokiego szczebla Kryptologia (z gr. κρυπτός – kryptos – „ukryty” i λόγος – logos – „rozum”, „słowo”) – dziedzina wiedzy o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Kryptologia · Zobacz więcej »

Leonhard Euler

Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Leonhard Euler · Zobacz więcej »

Lew Sznirelman

Lew Gienrichowicz Sznirelman, ros. Лев Генрихович Шнирельман (ur. 2 stycznia 1905 w Homlu, zm. 24 września 1938 w Moskwie) – rosyjski matematyk (pochodzenia żydowskiego), członek–korespondent Akademii Nauk ZSRR.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Lew Sznirelman · Zobacz więcej »

Liczba Ferriera

Liczba Ferriera jest największą liczbą pierwszą sprzed ery elektroniki, została znaleziona przez Francuza Aimé Ferriera.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Liczba Ferriera · Zobacz więcej »

Liczba półpierwsza

Liczba półpierwsza – liczba naturalna będąca iloczynem dokładnie dwóch, niekoniecznie różnych liczb pierwszych.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Liczba półpierwsza · Zobacz więcej »

Liczba złożona

Liczba złożona – liczba naturalna większa od 1 niebędąca liczbą pierwszą, tj.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Liczba złożona · Zobacz więcej »

Liczby bliźniacze

Liczby bliźniacze – dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Liczby bliźniacze · Zobacz więcej »

Liczby czworacze

Liczby czworacze – liczby pierwsze mające postać: p,\ p+2,\ p+6,\ p+8.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Liczby czworacze · Zobacz więcej »

Liczby Fermata

Liczba Fermata – liczba naturalna postaci F_n.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Liczby Fermata · Zobacz więcej »

Liczby Mersenne’a

Liczby Mersenne’a – liczby postaci M_n.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Liczby Mersenne’a · Zobacz więcej »

Liczby naturalne

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. W matematyce określenie liczby naturalne oznacza na ogół liczby całkowite dodatnie. To, czy zero jest liczbą naturalną, jest kwestią umowy. W matematyce nie przyjęto ogólnie żadnej konwencji dotyczącej przynależności zera lub jej braku do liczb naturalnych. Interesujące, że z punktu widzenia matematyki obie definicje można uważać w gruncie rzeczy za równoważne. O konkretnym stanowisku decydują często takie sytuacje jak: uproszczenie zapisu pewnych symboli, ograniczenie przypadków szczególnych itp.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Liczby naturalne · Zobacz więcej »

Liczby Sierpińskiego

Liczby Sierpińskiego – nieparzyste liczby naturalne k takie, że k2n + 1 jest liczbą złożoną dla dowolnego naturalnego n. Zatem, jeśli k jest liczbą Sierpińskiego, to wszystkie liczby w poniższym zbiorze są złożone: W roku 1960 Wacław Sierpiński wykazał, że istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych k spełniających powyższy warunek.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Liczby Sierpińskiego · Zobacz więcej »

Liczby względnie pierwsze

Liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, których największym wspólnym dzielnikiem jest jedność.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Liczby względnie pierwsze · Zobacz więcej »

Liczby zaprzyjaźnione

Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników właściwych (mniejszych od tej liczby) każdej z tych liczb równa się drugiej.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Liczby zaprzyjaźnione · Zobacz więcej »

Logarytm całkowy

Wykres funkcji li(x) w zakresie 1,01; 25 Logarytm całkowy – funkcja określona wzorem: Całka określająca funkcję jest całką przestępną – nie daje się wyrazić w postaci złożenia skończenie wielu funkcji elementarnych.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Logarytm całkowy · Zobacz więcej »

Małe twierdzenie Fermata

Małe twierdzenie Fermata (MTF) – twierdzenie teorii liczb sformułowane (bez dowodu) przez francuskiego matematyka Pierre’a de Fermata.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Małe twierdzenie Fermata · Zobacz więcej »

Oś liczbowa

Oś liczbowa – prosta, na której wyróżniono zwrot i punkt O zwany zerowym oraz ustalono odcinek jednostkowy.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Oś liczbowa · Zobacz więcej »

Pafnutij Czebyszow

Pafnutij L. Czebyszow Pafnutij Lwowicz Czebyszow, (ur. w Okatowie w guberni kałuskiej, zm. w Sankt Petersburgu) – rosyjski matematyk.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Pafnutij Czebyszow · Zobacz więcej »

Paul Erdős

Paul Erdős (jesień 1992) Paul Erdős, (ur. 26 marca 1913 w Budapeszcie, zm. 20 września 1996 w Warszawie) – węgierski matematyk.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Paul Erdős · Zobacz więcej »

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (ur. 13 lutego 1805 w Düren, zm. 5 maja 1859 w Getyndze) – niemiecki matematyk francuskiego pochodzenia.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Peter Gustav Lejeune Dirichlet · Zobacz więcej »

Pierścień (matematyka)

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Pierścień (matematyka) · Zobacz więcej »

Podłoga i sufit

Podłoga i sufit – funkcje zaokrąglające liczby rzeczywiste do liczb całkowitych odpowiednio w dół i w górę.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Podłoga i sufit · Zobacz więcej »

PrimeGrid

PrimeGrid – projekt przetwarzania rozproszonego platformy BOINC.

Nowy!!: Liczba pierwsza i PrimeGrid · Zobacz więcej »

Przedział (matematyka)

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Przedział (matematyka) · Zobacz więcej »

Rozkład na czynniki

Rozkład na czynniki lub faktoryzacja – to proces, który dla danego x znajduje takie obiekty, że ich iloczyn jest równy x. Obiekty te nazywamy czynnikami, dzielnikami x lub faktorami.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Rozkład na czynniki · Zobacz więcej »

RSA (kryptografia)

Algorytm Rivesta-Shamira-Adlemana, (RSA) – jeden z pierwszych i obecnie najpopularniejszych asymetrycznych algorytmów kryptograficznych z kluczem publicznym, zaprojektowany w 1977 przez Rona Rivesta, Adi Shamira oraz Leonarda Adlemana.

Nowy!!: Liczba pierwsza i RSA (kryptografia) · Zobacz więcej »

Silnia

logarytmu naturalnego silni '''ln(''x''!)''' Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n. Oznaczenie n! dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Silnia · Zobacz więcej »

Sito Eratostenesa

Sito Eratostenesa - przypisywany Eratostenesowi z Cyreny algorytm wyznaczania liczb pierwszych z zadanego przedziału \;.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Sito Eratostenesa · Zobacz więcej »

Sophie Germain

Sophie Germain ''Récherches sur la théorie des surfaces élastiques'', 1821 Marie-Sophie Germain (ur. 1 kwietnia 1776 w Paryżu, zm. 27 czerwca 1831 tamże) – francuska matematyczka.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Sophie Germain · Zobacz więcej »

Srinivasa Ramanujan

thumb Srinivasa Aiyangar Ramanujan (ur. 22 grudnia 1887 w Erode koło Madrasu, zm. 26 kwietnia 1920 w Kumbakonam) – indyjski matematyk.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Srinivasa Ramanujan · Zobacz więcej »

Szereg (matematyka)

Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Szereg (matematyka) · Zobacz więcej »

Teoria liczb

Teoria liczb – dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, które do dziś dla wielu specjalistów są szczególnie atrakcyjne.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Teoria liczb · Zobacz więcej »

Test Lucasa-Lehmera

Test Lucasa-Lehmera – test pierwszości dla liczb Mersenne’a.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Test Lucasa-Lehmera · Zobacz więcej »

Test Millera-Rabina

Test Millera-Rabina jest testem pierwszości, czyli algorytmem określającym czy dana liczba jest pierwsza.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Test Millera-Rabina · Zobacz więcej »

Test pierwszości

Test pierwszości – algorytm określający, czy dana liczba jest pierwsza, czy złożona.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Test pierwszości · Zobacz więcej »

Test pierwszości Solovaya-Strassena

Test Solovaya-Strassena – test pierwszości opracowany przez Roberta M. Solovaya i Volkera Strassena.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Test pierwszości Solovaya-Strassena · Zobacz więcej »

Wielkie twierdzenie Fermata

Wielkie twierdzenie Fermata – twierdzenie, które brzmi: ''Arithmetica'' Diofantosa, wydanie z roku 1670 uwzględniające wielkie twierdzenie Fermata Pierre de Fermat zanotował je na marginesie łacińskiego tłumaczenia książki Arithmetica Diofantosa i opatrzył następującą uwagą: lub w innej wersji.

Nowy!!: Liczba pierwsza i Wielkie twierdzenie Fermata · Zobacz więcej »

0 (liczba)

Zero (zapisywane jako 0) – element neutralny dodawania; najmniejsza nieujemna liczba.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 0 (liczba) · Zobacz więcej »

1 (liczba)

Każda liczba całkowita jest podzielna przez 1.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 1 (liczba) · Zobacz więcej »

11 (liczba)

Warunek podzielności zapisanej w systemie dziesiętnym liczby przez 11 jest taki, aby po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych, sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymać liczbę podzielną przez 11.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 11 (liczba) · Zobacz więcej »

13 (liczba)

13 – jedyna liczba naturalna będąca pierwiastkiem czwartego stopnia z sumy kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych (119 i 120).Uważna jest często za pechową.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 13 (liczba) · Zobacz więcej »

17 (liczba)

Liczba 17 jest liczbą pierwszą.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 17 (liczba) · Zobacz więcej »

19 (liczba)

Jest to liczba pierwsza.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 19 (liczba) · Zobacz więcej »

2 (liczba)

Warunek podzielności zapisanej w systemie dziesiętnym liczby przez 2 to, aby miała ona ostatnią cyfrę 0, 2, 4, 6 lub 8.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 2 (liczba) · Zobacz więcej »

2008

Bez opisu.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 2008 · Zobacz więcej »

23 (liczba)

Jest jedną z liczb pierwszych.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 23 (liczba) · Zobacz więcej »

29 (liczba)

Jest jedną z liczb pierwszych.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 29 (liczba) · Zobacz więcej »

3 (liczba)

Cechą podzielności przez 3 liczby zapisanej w systemie dziesiętnym jest podzielność sumy jej cyfr przez 3, np.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 3 (liczba) · Zobacz więcej »

31 (liczba)

Jest jedną z liczb pierwszych i trzecią liczbą Mersenne’a.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 31 (liczba) · Zobacz więcej »

37 (liczba)

Jest jedną z liczb pierwszych.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 37 (liczba) · Zobacz więcej »

41 (liczba)

Jest jedną z liczb pierwszych.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 41 (liczba) · Zobacz więcej »

43 (liczba)

Jest jedną z liczb pierwszych.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 43 (liczba) · Zobacz więcej »

47 (liczba)

Jest jedną z liczb pierwszych.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 47 (liczba) · Zobacz więcej »

5 (liczba)

Zapis liczby 5 zmieniający się w czasie Warunek podzielności zapisanej w systemie dziesiętnym liczby przez 5 to, aby ostatnia cyfra była zerem lub piątką.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 5 (liczba) · Zobacz więcej »

53 (liczba)

Bez opisu.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 53 (liczba) · Zobacz więcej »

59 (liczba)

Bez opisu.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 59 (liczba) · Zobacz więcej »

61 (liczba)

Bez opisu.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 61 (liczba) · Zobacz więcej »

67 (liczba)

Bez opisu.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 67 (liczba) · Zobacz więcej »

7 (liczba)

7 jest drugą liczbą Mersenne’a oraz czwartą liczbą pierwszą.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 7 (liczba) · Zobacz więcej »

71 (liczba)

Bez opisu.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 71 (liczba) · Zobacz więcej »

73 (liczba)

Bez opisu.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 73 (liczba) · Zobacz więcej »

79 (liczba)

Bez opisu.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 79 (liczba) · Zobacz więcej »

83 (liczba)

Bez opisu.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 83 (liczba) · Zobacz więcej »

89 (liczba)

Bez opisu.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 89 (liczba) · Zobacz więcej »

97 (liczba)

Bez opisu.

Nowy!!: Liczba pierwsza i 97 (liczba) · Zobacz więcej »

Przekierowuje tutaj:

Liczba pierwsza izolowana, Liczby pierwsze, Liczby pierwsze bliźniacze, Liczby piewsze bliźniacze, Twierdzenie Gaussa o liczbach pierwszych.

TowarzyskiPrzybywający
Hej! Jesteśmy na Facebooku teraz! »